Giả sử số cạnh là \(n\), ta có các cạnh có độ dài là \(u_1, u_2, u_3, ..., u_n\)
Theo đề bài ta có: \(u_1+u_2+u_3+...+u_n=63\)
với \(u_n\) là cấp số nhân với công bội \(q=2\) nên ta có
\(u_2=2u_1; u_3=2^2.u_1; ...; u_n=2^{n-1}u_1\)
Thay vào tổng ở trên ta có: \(u_1+u_2 +...+u_n=u_1+2 \cdot u_1+2^2 \cdot u_1 + ... + 2^{n-1}\cdot u_1\)
\(=u_1 \left(1+2+2^2+2^3+...+2^{n-1}\right)=u_1 \cdot \left(\dfrac{1\cdot (1-2^n)}{1-2}\right)=u_1(2^n-1)\) (Lưu ý rằng tổng \(1+2+2^2+...+2^{n-1}\) là tổng của n số hạng cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là 2)
Theo đề bài ta có: \(u_1(2^n-1)=63\)
Do \(u_1\) là số nguyên nên \(2^n-1 \leq 63\) tức là \(n\leq 6\). Thử lần lượt với \(n=3; 4; 5; 6\) (vì đa giác có từ 3 cạnh trở lên), ta có các đáp số là:
\(n=3 \Rightarrow u_1 = 9\) (nhận)
\(n=4 \Rightarrow u_1=\frac{21}{5}\) (loại)
\(n=5 \Rightarrow u_1=\frac{63}{31}\) (loại)
\(n=6 \Rightarrow u_1 = 1\) (nhận)